由舒尔函数给出的具有自然基的对称函数Λ的环出现在了许多不同的数学领域中，如出现在作为格拉斯曼的上同调环和作为对称群的表示环中。人们可以通过字母上的多形加法来定义Λ上的余积，通过这种方式对称函数的环就成为了一个霍普夫代数。李特尔伍德—理查森数可以看作是舒尔基中余积的结构常数。本书的第一部分是受吉安—卡洛罗塔（Gian-Carlo Rota）的哑演算的启发，研究了Λ的余代数映射，证明麦克唐纳多项式是舒尔函数的一个神秘的qt变形。本书的第二部分证明了川又最初猜想的麦克唐纳多项式的母函数恒等式。
1 Symmetric functions of Littlewood-Richardson type
1.1 Symmetric Functions
1.1.1 Partitions
1.1.2 Monomial symmetric functions
1.1.3 Plethystic notation
1.1.4 Schur functions
1.2 The Umbrai Calculus
1.2.1 Coalgebras
1.2.2 Sequences of Binomial Type
1.3 The Hall inner-product
1.3.1 Preliminaries
1.3.2 Column operators
1.3.3 Duality
1.4 Littlewood-Richardson Bases
1.4.1 Generalized complete symmetric functions
1.4.2 Umbral operators
1.4.3 Column operators
1.4.4 Generalized elementary symmetric functions
1.5 Examples
2 A generating function identity for Macdonald polynomials
2.1 Macdonald Polynomials
2.1.1 Notation
2.1.2 Operator definition
2.1.3 Characterization using the inner product
2.1.4 Arms and legs
2.1.5 Duality
2.1.6 Kawanaka conjecture
2.2 Resultants
2.2.1 Residue calculations
2.3 Pieri formula and recurrence
2.3.1 Arms and legs again
2.3.2 Pieri formula
2.3.3 Recurrence
2.4 The Proof
2.4.1 The Schur case
2.4.2 Step one
2.4.3 Step two
2.4.4 Step three
References
编辑手记
