现代数学译丛统计与计算反问题

章反问题与对测量的诠释

1.1介绍性示例

1.2反演过失

第2章经典正则化方法

2.1绪论：Fredholm方程

2.2截断奇异值分解

2.3Tikhonov正则化

2.3.1Tikhonov正则化的推广

2.4正则化的迭代方法

2.4.1Landweber-Fridman迭代

2.4.2Kaczmarz迭代与ART

2.4.3Krylov子空间法

2.5注释与评论

第3章统计反演理论

3.1反问题与Bayes公式

3.1.1估计量

3.2似然函数的构造

3.2.1加性噪声

3.2.2其他显式噪声模型

3.2.3计数过程数据

3.3先验模型

3.3.1Gauss先验函数

3.3.2脉冲先验密度函数

3.3.3不连续性

3.3.4Markov随机场

3.3.5基于样本的密度函数

3.4Gauss密度函数

3.4.1Gauss光滑化先验函数

3.5对后验函数的诠释

3.6Markov链MonteCarlo方法

3.6.1基本思想

3.6.2核的Metropolis-Hastings构造

3.6.3Gibbs采样器

3.6.4收敛性

3.7层次模型

3.8注释与评论

第4章非稳态反问题

4.1Bayes滤波

4.1.1一个非稳态反问题

4.1.2发展一观测模型

4.2Kalman滤波器

4.2.1线性Gauss型问题

4.2.2扩展Kalman滤波器

4.3粒子滤波器

4.4空间先验函数

4.5固定滞后和固定区间平滑化

4.6高阶Markov模型

4.7注释与评论

第5章再议经典方法

5.1估值理论

5.1.1优选似然估计

5.1.2Bayes成本诱导的估计量

5.1.3带仿射估计量的估值误差

5.2测试例

5.2.1先验函数

5.2.2观测算子

5.2.3加性噪声模型

5.2.4测试问题

5.3基于样本的误差分析

5.4截断奇异值分解

5.5共轭梯度迭代

5.6Tikhonov正则化

5.6.1先验结构与正则化水平

5.6.2Gauss观测误差模型的误设

5.6.3加性Cauchy误差

5.7离散化与先验模型

5.8统计模型降阶、近似误差与反演过失

5.8.1例子：全角断层成像与CGNE

5.9注释与评论

第6章模型问题

6.1X射线断层成像

6.1.1Radon变换

6.1.2离散模型

6.2反源问题

6.2.1准静态Maxwell方程组

6.2.2电学反源问题

6.2.3磁学反源问题

6.3电阻抗断层成像

6.4光学断层成像

6.4.1辐射转移方程

6.4.2扩散近似

6.4.3时谐测量

6.5注释与评论

第7章实例研究

7.1图像去模糊与异常的重构

7.1.1模型问题

7.1.2降阶模型与近似误差模型

7.1.3后验函数的取样

7.1.4模拟误差的影响

7.2有限角断层成像：牙科X射线成像

7.2.1层估计

7.2.2MAP估计

7.2.3取样：Gibbs采样器

7.3生物磁学反问题：源定位

7.3.1使用Gauss白噪声先验模型的重构

7.3.2使用e1-先验模型的偶极子强度重构

7.4基于Bayes滤波的动态MEG

7.4.1单偶极子模型

7.4.2更现实的几何构形

7.4.3多偶极子模型

7.5电阻抗断层成像：最优电流模式

7.5.1后验合成电流模式

7.5.2最优准则

7.5.3数值算例

7.6电阻抗断层成像：近似误差的处理

7.6.1网格与投影

7.6.2先验函数与先验模型

7.6.3误差增强模型

7.6.4MAP估计

7.7电阻抗过程断层成像

7.7.1发展模型

7.7.2观测模型与计算格式

7.7.3固定滞后状态估计

7.7.4流剖面的估值

7.8各向异性介质中的光学断层成像

7.8.1各向异性模型

7.8.2线性化模型

7.9光学断层成像：边界重构

7.9.1一般椭圆情形

7.9.2在光学扩散断层成像中的应用

7.10注释与评论

附录A线性代数与泛函分析

A.1线性代数

A.2泛函分析

A.3Sobolev空间

附录B概率论基础

B.1基本概念

B.2条件概率

索引

参考文献

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